Что такое медиана, ее особенности в равнобедренном, прямоугольном и равностороннем треугольнике, примеры задач — в материале РИА Новости.

Медианой треугольника в геометрии называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. При этом сторона, которая делится на равные части, называется основанием. Каждый треугольник имеет три вершины и три стороны, а значит, в каждом будет и три медианы.

Медиана обладает несколькими основными свойствами. Что следует знать про это геометрическое понятие:

Зная длину всех трех сторон треугольника, можно вычислить и его медиану. Для этого в геометрии используют специальную формулу медианы треугольника.

Если сторону, к которой проведена медиана, обозначить как a, две другие стороны треугольника — b и c, то формула медианы mₐ будет выглядеть следующим образом: mₐ = 1/2√(2b² + 2c² − a²).

Соответственно, аналогичные формулы медиан mc и mb, проведенных к основаниям c и b, будут выглядеть следующим образом:

Зная длину всех сторон треугольника вычислить гипотенузу можно по формуле. В прямоугольном треугольнике найти медиану, проведенную к гипотенузе, еще проще — она будет равняться половине основания.

Если известен угол, из которого выходит медиана, то для ее нахождения можно использовать другую формулу: mb= ½√ (a2+c2+2ac*cosB), где a, b, c — стороны треугольника, B — угол между сторонами a и с.

В геометрии найти медиану треугольника также допустимо, зная координаты всех его вершин: A (x1, y1); B (x2, y2), C (x3, y3). Сделать это требуется в два этапа. Сначала вычисляется координата середины основания AB — M. Для этого используются следующие формулы:

Затем длина отрезка CM находится по формуле расстояния между точками.

Медиана может обладать дополнительными свойствам в зависимости от вида треугольника. Определенные особенности появляются в прямоугольном, равнобедренном и равностороннем треугольнике.

В равнобедренном треугольнике особыми свойствами обладает медиана, проведенная к основанию. Она делит пополам основание и угол вершины, образует прямой угол, а также разбивает треугольник на два абсолютно равных и симметричных. Таким образом, медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, также является его высотой и биссектрисой.

При этом медианы, проведенные к боковым сторонам такого треугольника, будут равны между собой по длине. А центроид — точка пересечения всех медиан — разделит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе будет равняться половине этой гипотенузы. Соответственно, будет верным и обратное утверждение: если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник является прямоугольным, и медиана проведена из прямого угла.

В равностороннем треугольнике все три медианы равны между собой, при этом каждая является одновременно высотой, биссектрисой и серединным перпендикуляром. При этом точка пересечения медиан делит каждую на две части в соотношении 2:1, если считать от вершины, и совпадает с центром как вписанной в треугольник, так и описанной вокруг него окружности.

Несколько типовых задач с решениями на медиану треугольника.

Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°) проведены высота CH и медиана CM. Высота CH делит гипотенузу AB на отрезки AH = 9 см и HB = 16 см. Найдите длину медианы CM и длину отрезка HM между высотой и медианой.

Решение:

1. Найдем полную длину гипотенузы AB, сложив отрезки, на которые ее делит высота: AB=AH+HB=9+16=25 см.

2. Используем фундаментальное свойство прямоугольного треугольника: медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. CM=½*AB=25/2=12,5 см.

3. Так как CM — медиана, точка M является серединой гипотенузы AB. Значит, расстояние от вершины A до точки M равно: AM=½*AB=12,5 см.

4. Отрезок HM лежит на гипотенузе между точками H и M. Мы знаем, что AH = 9 см, а AM = 12,5 см. Следовательно: HM=AM-AH=12,5-9=3,5 см.

Ответ: CM = 12,5 см, HM = 3,5 см.

В треугольнике ABC известны длины сторон AB = 6 см, AC = 10 см, а его площадь S = 15√3 см². Найдите длину медианы AM, если известно, что угол ∠A — острый.

Решение:

1. Запишем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними.

S = ½ * АВ * АС * sin(∠A)

15√3 = ½ * 6 * 10 * sin(∠A)

15√3 = 30 * sin(∠A) => sin(∠A) = 15√3/30 = √3/2

2. Так как по условию угол ∠A острый, то ∠A = 60°.

3. Для нахождения медианы AM применим стандартную математическую формулу медианы через три стороны, но сначала нам нужно найти третью сторону a = BC. Найдем ее по теореме косинусов: ВС2 = АB2 + AC2 - 2 * AB * AC * cos(60°). Учитывая, что cos(60°) = 0,5, ВС2 = 76 см2.

4. Теперь подставим все данные в формулу длины медианы AM. AM = ½ * √(2 * АB2 + 2 * АС2 - ВС2). AM = ½ √196 = ½ * 14 = 7.

Ответ: 7 см.

Ответы на самые распространенные вопросы о медиане треугольника.

Главное, что важно знать, — каждый треугольник имеет ровно три медианы.

Точка пересечения медиан треугольника имеет несколько названий. Ее называют центроидом, центром тяжести треугольника или центром масс (барицентром).

Все медианы пересекаются в одной точке, при этом центроид будет делить каждую из медиан в соотношении 2:1. Причем большая часть находится со стороны вершины.

Медиана разделяет пополам ту сторону треугольника, к которой она проведена. При этом необязательно получаются две равные по форме фигуры. Однако треугольник всегда будет разделен медианой на две одинаковые части по площади.

Медиана всегда будет являться высотой и биссектрисой в равностороннем треугольнике. Также это свойственно медиане равнобедренного треугольника, но лишь при проведении ее к основанию.