[Перевод] Проблема торга

Это небольшая статья Джона Нэша, американского математика, работавшего также в области теории игр, получившего Нобелевскую премию по экономике и Абелевскую премию по математике, была написана в 1950-м году и оказала сильное влияние на экономическую теорию, теорию игр и принятия решений.

@avshkol сделал ее перевод для русскоязычной аудитории, а также сопроводил многочисленными практическими и теоретическими пояснениями. Статья будет полезна студентам финансово-экономических и управленческих специальностей, руководителям, предпринимателям, переговорщикам и закупщикам.

Проблема торга (1)

Автор: Джон Ф. Нэш-мл.

The Bargaining Problem

John F. Nash, Jr.

Источник: Econometrica, Vol. 18, No. 2 (апрель 1950), с. 155–162. Издатель: Эконометрическое общество.

(1) Автор хотел бы выразить признательность профессорам фон Нейману и Моргенштерну, которые ознакомились с первоначальной формой статьи и дали полезные советы к изложению материала.

Предлагается новый подход к классической экономической проблеме, возникающей во множестве форм: торг, двусторонняя монополия и т.д. Её также можно рассматривать как игру двух лиц с ненулевой суммой. В рамках данного подхода сделаны несколько общих предположений относительно поведения индивида и группы из двух индивидов в определённых экономических условиях. Из этих предположений может быть получено (в рамках настоящей статьи) решение классической задачи. Параметры игры определяются на языке теории игр.

Введение

Ситуация торга между двумя лицами предполагает наличие двух индивидов, имеющих возможность сотрудничать ради взаимной выгоды более чем одним способом. В более простом случае, который и рассматривается в настоящей статье, ни одно действие, предпринятое одним из индивидов без согласия другого, не может повлиять на благосостояние последнего.

Такие экономические ситуации, как монополия против монопсонии, государственная торговля между двумя странами, переговоры между работодателем и профсоюзом можно рассматривать как задачи торга. Цель настоящей статьи — дать теоретическое обсуждение этой проблемы и получить определённое «решение», прибегая, разумеется, к некоторым идеализациям. Под «решением» здесь понимается определение величины удовлетворенности, которое каждый индивид должен ожидать от данной ситуации, или, точнее, определение того, сколь ценной должна быть для каждого из этих индивидов сама возможность вступить в торг.

Комментарий @avshkol к вступительным абзацам и общей проблеме, решение которой предложено в статье

Прежде всего, оценим исторический контекст: какую проблему решает Нэш, 22-летний аспирант Принстонского университета?

«Классическая экономическая проблема», о которой говорит Нэш, — это проблема неопределённости цены при двусторонней монополии (один продавец, один покупатель). Ещё с работ Курно, Эджуорта и Боули экономисты знали, что в такой ситуации рыночный механизм не даёт однозначной цены: существует целый диапазон (т.н. контрактная кривая), внутри которого может быть заключена (выгодная обеим сторонам!) сделка. Традиционная экономическая теория не давала ответа, какая именно точка этого диапазона будет выбрана, считалось, что исход зависит от психологических качеств, упрямства и настойчивости или, наоборот, податливости, ограниченности в средствах участников и случайных обстоятельств переговоров (например, какая цена была первой названа, от той и идёт торговля).

Новизна работы Нэша состоит в том, что он впервые предложил точное математическое решение этой задачи: не диапазон, а единственную точку.

Нэш переформулировал экономическую проблему на языке теории игр, созданной фон Нейманом и Моргенштерном (благодарность им он выражает в первом примечании к статье). Здесь важное понятие (новое для 1950-х) — «ненулевая сумма»:

В игре с нулевой суммой выигрыш одного игрока в точности равен проигрышу другого (как в карточной игре на деньги). Это модель чистого конфликта.
В игре с ненулевой суммой интересы игроков частично совпадают: оба могут выиграть от сотрудничества или оба проиграть от его отсутствия. Торг — именно такая игра: и продавец, и покупатель заинтересованы в том, чтобы сделка состоялась, но (до момента, когда они договорятся) расходятся в условиях.

Для игр с нулевой суммой теория уже давала решение (минимакс), а для игр с ненулевой суммой общего решения не существовало. Нэш фактически предложил первую теорию кооперативного взаимодействия двух рациональных агентов.

«Ни одно действие, предпринятое одним из индивидов без согласия другого, не может повлиять на благосостояние последнего».

Это методологическое ограничение, оно означает, что Нэш рассматривает чистую модель добровольного обмена, исключая:

угрозы и шантаж (один участник не может в одностороннем порядке ухудшить положение другого, чтобы вынудить его на уступки);
кражу, порчу имущества и подобные односторонние действия;
экстерналии, любые побочные эффекты действий одного участника, затрагивающие другого без его согласия.

При этом называются дополнительные условия такой идеальности:

Рациональность обоих участников, каждый точно знает, чего хочет, и последовательно максимизирует свою выгоду.
Точная сравнимость желаний, когда каждый может численно оценить свои предпочтения (существует некая однозначно понимаемая участником его функция полезности).
Равенство переговорного мастерства, когда ни одна сторона не имеет психологического преимущества, особого «упрямства» или некой специальной тактики.
Полная информированность — каждый знает вкусы и предпочтения другого.

Иными словами, единственный способ повлиять на исход сделки — это предложить или отклонить соглашение. Это идеальная ситуация торга, в котором власть участника заключается только в его праве предложить цену или сказать «да» или «нет» на предложение другого участника.

Нэш перечисляет ситуации, которые подпадают под его модель:

Монополия против монопсонии, или единственный продавец и единственный покупатель, где торгуются цена и объём товара
Государственная торговля между двумя странами, например, это условия обмена товарами (зерно на нефть и т.п.)
Переговоры работодателя и профсоюза, где торгуются величина заработной платы и условия труда

Во всех указанных случаях:

обе стороны могут выиграть от соглашения;
существует множество возможных условий соглашения;
ни одна сторона не может в одностороннем порядке навязать исход другой (по крайней мере, так считается, например, работодатель зависит от работников, без них у него всё остановится, а работники не проживут без зарплаты).

Важно также понять, что такое «решение» в понимании Нэша. Он определяет решение как:

«Определение величины удовлетворённости, которое каждый индивид должен ожидать от данной ситуации, или, точнее, определение того, сколь ценной должна быть для каждого из этих индивидов сама возможность вступить в торг».

Здесь две составляющих:

1. Ожидаемая полезность от исхода сделки: Нэш ищет не цену в денежных единицах, а полезность — числовую меру удовлетворения, которую каждый участник получит от финального соглашения. Это связано с тем, что в теории игр по фон Нейману–Моргенштерну предпочтения агентов выражаются числовой функцией полезности.

2. Ценность самой возможности торговаться: решение говорит о том, «сколько стоит», насколько ценен для каждого агента сам факт того, что торг вообще возможен. Если бы торга не было, каждый получил бы свою «точку несогласия» (то, что он и так имеет без сделки). Решение Нэша определяет прирост полезности каждого участника сверх этой точки несогласия, при оптимальной сделке.

Итак, именно такая постановка задачи:

найти единственное рациональное решение в торге двух игроков, там, где классическая теория видела лишь диапазон возможностей

сделала статью Нэша одной из самых цитируемых работ по теории игр и переговоров и заложила основу для всей последующей теории переговоров, аукционов и кооперативных игр.

Это классическая задача обмена или, конкретнее, двусторонней монополии, рассматривавшаяся Курно, Боули, Тинтнером, Феллнером и другими. Иной подход предложен фон Нейманом и Моргенштерном в работе «Теория игр и экономическое поведение» (2), позволяющий отождествить эту типичную ситуацию обмена с игрой двух лиц с ненулевой суммой.

(2) Джон фон Нейман и Оскар Моргенштерн, Теория игр и экономическое поведение, Принстон, Издательство Принстонского университета, 1944 (2-е изд., 1947), с. 15–31.

В общих чертах, мы идеализируем задачу торга, предполагая, что оба индивида высоко рациональны, что каждый может точно оценить свои предпочтения в отношении различных благ, что они обладают равным мастерством в ведении торга и что каждому полностью известны вкусы и предпочтения другого.

В процессе теоретического рассмотрения ситуаций торга мы абстрагируемся от конкретной ситуации и сформируем математическую модель, в рамках которой будем развивать нашу теорию.

При рассмотрении торга мы используем числовую величину полезности того типа, который разработан в «Теории игр», для выражения вкусов и предпочтений каждого индивида, участвующего в торге. Таким образом мы вводим в математическую модель стремление каждого индивида в процессе торга максимизировать свой выигрыш. Мы кратко изложим эту теорию в терминологии, используемой в настоящей статье.

Ещё один критический комментарий @avshkol об отличии подхода Нэша (и теории игр) от двух противоположных подходов — марксистской и австрийской экономических школ

Нужно понимать, что подход Джона Нэша, представленный в статье «Проблема торга», базируется на неоклассической парадигме и теории игр: он предполагает, что

стоимость субъективна, но при этом измеряема,
участники обладают полной информацией,
участники не просто рациональны, а математически четко просчитывают свои и чужие выгоды и издержки,
в результате, решение может быть найдено математически.

Есть как минимум два подхода, которые на согласились бы с такой постановкой задачи. Марксизм и Австрийская экономическая школа представляют собой два диаметрально противоположных взгляда на природу обмена, стоимости да и самого процесса переговоров. Причём, противоположных и друг другу, и нэшевскому неоклассическому подходу.

1. Марксизм

Для марксистской политической экономии проблема торга не является задачей поиска «справедливой точки» на графике субъективных полезностей. В отличие от Нэша с его неоклассическим подходом, где ценность блага зависит от субъективных предпочтений индивидов, Карл Маркс утверждал, что стоимость объективна. В основе меновой стоимости любого товара лежат общественно необходимые затраты абстрактного человеческого труда.

В идеализированной марксовой модели простого товарного обращения обмен происходит не потому, что стороны субъективно выигрывают в полезности, а потому, что они обменивают равные количества затраченного общественного труда. Никто в результате торга не выигрывает, если только случайно или путём обмана, но это редкие и не меняющие сути обмена события.

Если Нэш приводит пример переговоров между работодателем и профсоюзом как задачу кооперативного поиска оптимума, то для Маркса это арена непримиримого антагонизма. Рабочий продает не «труд» (и его субъективную полезность), а специфический товар — рабочую силу. Стоимость рабочей силы определяется трудом, необходимым для производства средств к существованию рабочего.

Капиталист покупает рабочую силу по ее стоимости, но использует ее так, что она создает стоимость большую, чем стоит сама (прибавочная стоимость).

В итоге исход «торга» за заработную плату и длину рабочего дня не определяется математической формулой или достижением точки, где обе стороны получают выгоду. Он определяется соотношением классовых сил, таких факторов, как уровень безработицы (размер «резервной армии труда», которая давит на рабочих), степень классовой организации (наличие профсоюзов, стачки), государственное регулирование (минимальная оплата труда).

Аксиома «равенства переговорного мастерства» с точки зрения марксизма является фикцией, скрывающей эксплуатацию.

2. Австрийская экономическая школа

Австрийская школа (Карл Менгер, Людвиг фон Мизес, Фридрих фон Хайек, О. И. Бём-Баверк) имеет общий с Нэшем подход только в том, что стоимость субъективна. Но категорически отвергает концепцию вычислимой полезности, идею статического равновесия и то, что точка равновесия может быть найдена математически. В этой неопределенности результата торга австрийская школа сходится с ранними подходами, до Нэша, но при этом неопределенность следует из природы субъективных оценок, а вовсе не является «недостатком теории».

Нэш (опираясь на фон Неймана) использует кардиналистскую полезность, т.е. предполагает, что удовлетворения двух участников можно измерять в абсолютных единицах и перемножать.

Австрийцы (вслед за Парето, но с акцентом на действие) утверждают, что полезность численно неизмерима. Человек может лишь ранжировать свои предпочтения (А лучше Б, Б лучше В), но не может присвоить им числа. Следовательно, концепция «максимизации произведения полезностей» для австрийцев лишена экономического смысла.

Австрийцы взамен принципу вычислимости некого оптимума предлагают принцип двойного неравенства обмена: сделка происходит не потому, что стороны находят некую «справедливую середину», а потому, что в момент обмена каждый субъективно ценит получаемое выше отдаваемого. Обмен всегда взаимовыгоден ex-ante (до сделки), но измерить степень этой выгоды в единых единицах невозможно. Заключая сделку каждый из участников принимает также риск, что предыдущая оценка, ожидание выгодности может быть пересмотрено, и сделка окажется не такой выгодной или вообще невыгодной. Покупая кирпичи, вы рассчитываете, что построенный дом или его аренда будет стоить одну цену, но если цены на недвижимость или аренду упадут, вы измените свои предыдущие оценки выгодности цены кирпичей.

Австрийцы рассматривают торг как рыночный процесс, а рынок — как динамический процесс открытия. Нэш же ищет единственную статическую «точку решения», предполагая, что множество альтернатив и предпочтения известны заранее.

Как формируется цена в результате торга в австрийской экономической теории? Бём-Баверк показал, что цена не выводится из абстрактных аксиом справедливости, а определяется субъективными оценками предельных пар покупателей и продавцов — тех, чьи оценки очень близко сходятся на рынке.

Важно также отметить проблему знания (Хайек). Нэш вводит допущение: «каждый обладает полным знанием вкусов и предпочтений другого». Для Хайека это абсурд. Знание о предпочтениях, редкости и альтернативах рассеяно среди миллионов участников рынка и часто носит неявный характер. Торг и ценообразование — это не решение математической задачи с известными переменными, а процесс обнаружения этой информации через конкуренцию и предпринимательские оценки и предположения, которые могут оказаться как верными, так и неверными.

В целом, взамен теории игр австрийцы говорят о праксиологии, науке о человеческом действии. Людвиг фон Мизес утверждал, что человек действует целенаправленно, чтобы устранить состояние дискомфорта. В ситуации двусторонней монополии (торга) Мизес признавал, что цена не имеет строго детерминированной точки. Она будет находиться где-то между субъективными оценками продавца (нижняя граница) и покупателя (верхняя граница).Но где именно? Это зависит как раз от искусства ведения переговоров, психологических особенностей, упорства и тактических ошибок конкретных людей, то есть всего того, что Нэш оставляет за скобками. Мизес прямо писал, что в рамках теории обмена (каталлактики) точная цена неопределима, и никакие математические формулы (включая формулу Нэша) не могут предсказать исход, так как он зависит от уникальных исторических и психологических обстоятельств момента.

Таким образом, критика австрийской школы и Нэша, и теории игр в целом, в том, что они подменяют реальную человеческую деятельность (предпринимательство, конкуренцию, поиск) механистической моделью, требующей нереалистичных допущений (полная информация, измеримая полезность). «Решение» Нэша, таким образом, выглядит как красивая математическая абстракция, не имеющая отношения к реальному рыночному процессу.

Теория полезности индивида

Понятие «ожидание» (anticipation) играет важную роль в этой теории. Это понятие будет отчасти пояснено на примерах. Предположим, мистер Смит знает, что завтра ему подарят новый «Бьюик». Мы можем сказать, что у него ожидание «Бьюика». Аналогично, у него может быть ожидание «Кадиллака». Если бы он знал, что завтра будет подброшена монета, чтобы решить, получит ли он «Бьюик» или «Кадиллак», мы сказали бы, что у него ожидание «1/2 Бьюика, 1/2 Кадиллака». Таким образом, ожидание индивида представляет собой набор перспектив, который может включать определённость относительно одних обстоятельств и различные вероятности других. В качестве ещё одного примера: мистер Смит может знать, что завтра получит «Бьюик», и считать, что у него есть половинный шанс получить «Кадиллак». Ожидание «1/2 Бьюика, 1/2 Кадиллака», упомянутое выше, иллюстрирует следующее важное свойство ожиданий: если и и — два ожидания, то существует ожидание, которое мы обозначаем , являющееся вероятностной комбинацией двух ожиданий, где вероятность равна , а вероятность равна . Принимая следующие предположения, мы получаем возможность развить теорию полезности для отдельно взятого индивида:

Индивид, которому предложены два возможных варианта (два возможных ожидания), способен определить, какое из них предпочтительнее, либо что они равноценны.
Порождаемое таким образом упорядочение транзитивно: если лучше и лучше , то лучше .
Любая вероятностная комбинация равноценных состояний столь же желательна, как и каждое из них в отдельности.
Если и таковы, как в предположении (2), то существует вероятностная комбинация и , которая столь же желательна, как . Это равносильно предположению непрерывности.
Если и и равноценны, то и равноценны. Также, если и равноценны, то может быть подставлено вместо в любом отношении упорядочения по желательности (предпочтительности), которому удовлетворяет .

Этих предположений достаточно для доказательства существования удовлетворительной функции полезности, ставящей в соответствие каждому ожиданию индивида действительное число. Эта функция полезности не единственна: если — такая функция, то и также является таковой при . Обозначая прописными буквами ожидания, а строчными — действительные числа, такая функция полезности удовлетворяет следующим свойствам:

(а) равносильно тому, что желательнее , и т. д.

(б) Если , то .

Это важное свойство линейности функции полезности.

Более подробное разъяснение @avshkol к разделу Теория полезности индивида и используемым соотношениям

Цель этого раздела — показать, как превратить субъективные, туманные человеческие «хотелки» и эмоции в числовые данные.

Формула (где )

Нэш использует термин «ожидание» (anticipation), то есть вводит вероятность в расчёты. В реальной жизни мы часто выбираем не между гарантированными вещами, а между шансами различных вариантов. Это математическое описание такого «рискованного ожидания».

Чтобы человеческие предпочтения можно было описать формулами, Нэш утверждает, что рациональный человек всегда подчиняется пяти логическим правилам. Покажем их на примерах:

Сравнимость. Вы всегда можете сказать, что вам больше нравится: A, B, или они для вас абсолютно равны. (Предполагается, что не бывает ситуации «не знаю / не могу сравнить»).
Транзитивность. Если пицца (A) лучше бургера (B), а бургер лучше супа (C), то пицца точно лучше супа (
).
Эквивалентность в комбинации. Это нужно понимать так: если вам всё равно, чай или кофе (A=B), то вам будет всё равно, выпьете ли вы чай с 50% вероятностью (и воду с 50%), или кофе с 50% вероятностью (и воду с 50%).
Непрерывность. Если выигрыш A (миллион долларов) лучше B (100 рублей), а B лучше C (потеря 100 рублей), то всегда можно подобрать такой крошечный шанс p выиграть миллион, что эта рискованная лотерея будет для вас равноценна гарантированным 100 рублям. (В оригинальном тексте Нэша здесь опечатка, написано "as desirable as C", но математический смысл аксиомы непрерывности требует, чтобы лотерея всё же была равна среднему элементу B).
Независимость (Подстановка). Если A и B для вас одинаково желательны, то вы можете безболезненно заменить A на B в любой сложной вероятностной комбинации, и ваша общая её оценка не изменится.

Если человек соблюдает указанные 5 правил, математически доказано, что ему можно присвоить функцию полезности , которая превращает его желания в числа. (Здесь нужно понимать, что это верно в рамках неоклассической теории: например, австрийская теория отрицает возможность выразить численно человеческие желания).

означает предпочтение A перед B (его полезность численно выше). Но числа просто отражают ранжирование.

Это важная часть всей современной экономики и теории игр. Полезность лотереи (рискованного ожидания) равна средневзвешенной (с учетом вероятности получения) полезности её призов.

Зачем же Нэшу понадобилось вводить эти формулы? В задаче торга Нэш ищет точку, где максимизируется произведение полезностей двух людей ().

Но в обычной, ординалистской теории (например, австрийская теория), где полезность — это просто «место в рейтинге» (1-е место, 2-е место и т.п.), умножать ранги нельзя (нельзя умножить «первое место» на «второе место»).

В этом разделе Нэш пытается доказать, что полезность кардиналистская (количественная) и линейная.

Теория для двух лиц

В работе «Теория игр и экономическое поведение» разработана теория игр для лиц, включающая как частный случай задачу торга для двух лиц. Однако развитая там теория не делает попытки найти числовое значение для игры с участниками, то есть определить, чему равна для каждого игрока ценность возможности участвовать в игре. Это определение осуществляется лишь в случае игры двух участников с нулевой суммой.

Наша точка зрения состоит в том, что такие игры с участниками должны иметь числовые значения: другими словами, должен существовать набор чисел, непрерывно зависящих от совокупности величин, составляющих математическое описание игры, и выражающих полезность для каждого игрока возможности участвовать в игре.

Мы можем определить ожидание для двух участников как комбинацию двух ожиданий одного участника. Таким образом, у нас есть два индивида, каждый с определённым ожиданием относительно своего будущего положения. Мы можем рассматривать функции полезности одного участника как применимые к ожиданиям двух участников, причём каждая из них даёт тот результат, который она дала бы применительно к соответствующему ожиданию одного участника, являющемуся компонентой ожидания двух участников. Вероятностная комбинация двух ожиданий для двух индивидов определяется путём выполнения соответствующих комбинаций для их компонент. Так, если — ожидания двух участников и , то

определяется как

Очевидно, функции полезности одного участника обладают здесь тем же свойством линейности, что и в случае одного индивида. Начиная с этого момента, когда используется термин «ожидание», он будет означать ожидание для двух лиц.

В ситуации торга одно ожидание выделяется особо: это ожидание отсутствия сотрудничества между участниками торга. Поэтому естественно использовать функции полезности для двух индивидов, которые присваивают этому ожиданию число ноль. Это всё ещё оставляет функцию полезности каждого индивида определённой лишь с точностью до умножения на положительное действительное число. В дальнейшем любые используемые функции полезности следует понимать как выбранные именно таким образом.

Мы можем представить ситуацию между двумя участниками графически, определив для них функции полезности и отобразив на плоскости полезности всех доступных ожиданий.

Здесь необходимо ввести предположения о природе получаемых таким образом множества точек. Мы хотим предположить, что это множество точек компактно и выпукло в математическом смысле. Оно должно быть выпуклым, поскольку ожидание, отображающееся в любую точку на прямолинейном отрезке между двумя точками множества, всегда может быть получено посредством соответствующей вероятностной комбинации двух ожиданий, отображающихся в эти две точки. Условие компактности подразумевает, в частности, что множество точек должно быть ограничено, то есть все они могут быть заключены в достаточно большой квадрат на плоскости. Оно также подразумевает, что любая непрерывная функция полезностей принимает максимальное значение на множестве в некоторой точке этого множества.

Мы будем рассматривать два ожидания, имеющие одинаковую полезность для любой функции полезности, соответствующей любому из индивидов, как эквивалентные, так что график становится полным представлением существенных параметров ситуации. Разумеется, график определён лишь с точностью до некоторой величины, поскольку функции полезности определены не полностью.

Теперь, поскольку наше решение должно состоять из рациональных ожиданий выигрыша двух участников торга, эти ожидания должны быть реализуемы посредством соответствующего соглашения между ними. Следовательно, должно существовать возможное ожидание, дающее каждому тот объём удовлетворения, который он должен ожидать. Разумно предположить, что двое, будучи рациональными, просто придут к соглашению об этом ожидании или об эквивалентном ему. Таким образом, мы можем рассматривать одну точку множества на графике как представляющую решение, а также все ожидания, которые двое могли бы согласиться считать справедливым результатом торга. Мы будем развивать теорию, задавая условия, которым должно удовлетворять соотношение между этой точкой решения и множеством, и из них выводить простое условие, определяющее точку решения. Мы будем рассматривать только те случаи, в которых существует возможность для обоих индивидов получить от ситуации выгоду. (Это не исключает случаев, когда в итоге только один индивид может получить выгоду, поскольку «справедливая сделка» может состоять в соглашении использовать вероятностный метод для определения того, кто получит выгоду в конечном счёте. Любая вероятностная комбинация доступных ожиданий является доступным ожиданием.)

Пусть и — функции полезности двух индивидов, а представляет точку решения в множестве , которое компактно, выпукло и содержит начало координат. Мы принимаем:

6. Если — точка на множестве , такая, что существует другая точка в со свойством и , то .

7. Если множество содержит множество и , то .

Мы говорим, что множество симметрично, если существуют операторы полезности и , такие что если содержится в , то также содержится в ; то есть график становится симметричным относительно прямой .

8. Если симметрично и и отображают эту симметрию, то — точка вида , то есть точка на прямой .

Первое из приведённых предположений выражает идею, что каждый индивид стремится максимизировать полезность для себя от итоговой сделки. Третье выражает равенство мастерства в ведении торга. Второе более сложное. Следующая интерпретация может помочь показать естественность этого предположения: если два рациональных индивида согласились бы, что было бы справедливой сделкой, если бы было множеством возможных сделок, то они должны быть готовы заключить менее ограничительное соглашение: не пытаться прийти к сделкам, представленным точками вне множества , если содержит . Если бы содержалось в , это свело бы их ситуацию к ситуации с в качестве множества возможностей. Следовательно, должно быть равно .

Комментарий @avshkol: Подробнее о модели для 2 лиц и условиях 6, 7, 8:

Здесь Нэш превращает абстрактную идею «честного торга» в математическую модель. Сначала он задает правила игры и свойства пространства, в котором эта игра происходит.

Фон Нейман и Моргенштерн создали теорию игр лиц, но в их теории было «белое пятно»: точное решение можно было найти только для игр с нулевой суммой (где выигрыш одного равен проигрышу другого, как в покере или другой азартной игре на деньги без участия казино).

Для игр с ненулевой суммой (где оба могут выиграть, как в торге) пока не было предложено метода нахождения конкретного значения, сколько полезности получит каждый игрок от самого факта вступления в игру. Нэш заявляет: такое значение должно существовать, и оно должно зависеть от условий игры.

Нэш расширяет понятие «ожидания», которое использовалось для одного индивида, на двух участников. Теперь ожидание — это пара [A,B], где A — то, что ожидает первый участник, а B — то, что ожидает второй.

Вероятностная формула преобразуется так, что вероятности применяются к каждому участнику независимо:

Другими словами, здесь итогом торга может быть не только классическая купля-продажа («я тебе товар, ты мне деньги»), но и договоренность бросить монетку, чтобы решить, кто какую выгоду получит. Любая вероятностная смесь доступных сделок — это тоже доступная сделка.

При этом в ситуации торга выделяется одно особое состояние — отсутствие сотрудничества (если участники не договорились и разошлись). Нэш предлагает выбрать функции полезности так, чтобы этому состоянию соответствовал ноль: точка (0,0).

Это вовсе не значит, что без сделки люди останутся с нулем (отсутствием) имущества. Ноль — это точка отсчета (как уровень моря). Здесь координаты показывают не абсолютное богатство индивидов, а его прирост (дополнительный выигрыш индивидов) от сотрудничества сверх того, что они и так имеют без сделки.

Нэш предлагает нарисовать все возможные ожидания (сделки) на графике, где ось X — полезность первого игрока (), а ось Y — полезность второго (). Это множество точек должно обладать двумя математическими свойствами:

Выпуклость. Если сделка А возможна и сделка Б возможна, то и любая вероятностная комбинация между ними (например, 50% шанс сделки А и 50% шанс сделки Б) тоже возможна. Геометрически это значит, что если провести прямую между двумя любыми точками множества, вся эта линия будет внутри множества. В нем нет «дыр» и «впадин».
Компактность. Множество ограничено (его можно вписать в конечный квадрат) и замкнуто.
Математика гарантирует: любая непрерывная функция на компактном множестве обязательно достигает максимума. Без компактности решение могло бы «убежать» в бесконечность.

Также Нэш вводит допущение, что мы рассматриваем только те случаи, где взаимная выгода возможна (то есть есть точки, где

и , лежащие в первом квадранте).

Нэш обозначает решение как точку в множестве . Чтобы эта точка была решением, она должна удовлетворять трем требованиям Нэша (они идут следующими после п.5: 6,7,8).

6. Парето-оптимальность. Это принцип «Не упускай взаимную выгоду». Рациональные люди никогда не согласятся на сделку, если существует альтернатива, которая лучше для обоих. Решение должно лежать на «границе возможностей», где улучшить положение одного можно только за счет ухудшения положения другого. При этом эгоизм и рациональность присутствует: каждый хочет максимизировать свою полезность.

7. Независимость от посторонних альтернатив (принцип «Смена меню»). Можно привести такой пример: представьте, что вы выбирали блюдо из полного меню (множество ) и выбрали стейк. Потом официант сказал: «Извините, из-за проблем на кухне сегодня доступны только блюда из раздела , но ваш стейк там есть». Если вы рациональны, ваш выбор не должен измениться. Удаление тех вариантов, которые всё равно не были бы выбраны, не должно влиять на итоговое решение. Для двух игроков здесь логическая последовательность: если два рациональных индивида признали сделку справедливой в широком наборе возможностей, они должны согласиться на неё и тогда, когда их выбор искусственно ограничили до набора , при условии, что эта сделка всё ещё доступна в .

8. Симметрия, или Принцип равных возможностей. Если участники торга абсолютно равны (их вкусы, стартовые позиции и переговорные навыки зеркальны), они должны получить одинаковый выигрыш. Справедливое решение не может отдавать предпочтение одному из двух одинаковых игроков. Эта аксиома отражает идеализацию Нэша о равенстве переговорных навыков (если бы один был хитрее ли упрямее, симметрии бы не было.

В итоге, Нэш построил такую «сцену»:

У нас есть система координат, где ноль — это отказ от сделки.
У нас есть компактное и выпуклое множество всех возможных взаимовыгодных сделок.
У нас есть три жёстких требования к решению: не быть заведомо плохим для обоих (Парето), не зависеть от лишних альтернатив и быть симметричным для равных игроков.

Далее Нэш покажет, что этим трём условиям удовлетворяет только одна-единственная точка — точка максимума произведения полезностей $u_1 \cdot u_2$ .

Теперь покажем, что эти условия требуют, чтобы решение было точкой множества в первом квадранте, где произведение максимально. Мы знаем, что такая точка существует в силу компактности. Выпуклость делает её единственной. Выберем теперь функции полезности так, чтобы указанная точка была преобразована в точку . Поскольку это предполагает умножение полезностей на константы, будет теперь точкой максимума . Ни для каких точек множества не будет выполняться условие , поскольку если бы существовала точка множества с , то в некоторой точке на отрезке между и этой точкой значение было бы больше единицы (см. рис. 1).

Теперь мы можем построить квадрат в области , симметричный относительно прямой , одна сторона которого лежит на прямой и который полностью заключает в себе множество альтернатив. Рассматривая образованную квадратную область как множество альтернатив вместо прежнего множества, ясно, что — единственная точка, удовлетворяющая предположениям (6) и (8). Теперь, используя предположение (7), мы можем заключить, что должна быть также точкой решения, когда наше исходное (преобразованное) множество является множеством альтернатив. Это доказывает утверждение.

Теперь приведём несколько примеров применения этой теории.

Комментарий @avshkol: Подробнее о произведении U1xU2 и построении графика на рис.1:

Нэш утверждает: решение задачи торга — это единственная точка в первом квадранте, в которой произведение выигрышей $u_1 \cdot u_2$ достигает максимума. То есть сторонам следует выбрать такое соглашение, при котором произведение их приростов полезности максимально.

Ещё раз пройдём по доказательству, почему точка существует и единственна.

Существование гарантируется компактностью множества S. Непрерывная функция $u_1 \cdot u_2$ на компактном множестве обязательно достигает максимума (теорема Вейерштрасса).

Единственность гарантируется выпуклостью. На выпуклом множестве максимум достигается ровно в одной точке. Если бы было два максимума, то любая точка на отрезке между ними давала бы ещё большее значение (за счёт выпуклости множества и свойств произведения), что противоречило бы предположению о двух максимумах.

На первом шаге Нэш производит нормировку (перенос максимума в точку (1,1)). В ней $u_1 \cdot u_2 = 1 \cdot 1 = 1$ . И ни в какой другой точке множества произведение $u_1 \cdot u_2$ не превышает 1.

Второй шаг: доказательство, что ни одна точка множества не может удовлетворять условию

Третий шаг: построение квадрата.

Берём область $u_1 + u_2 \leq 2$ в первом квадранте. Строим в ней квадрат, который:

Симметричен относительно прямой (диагонали).
Одной стороной лежит на прямой .
Полностью о содержит исходное множество .

Обозначим этот квадрат как . Очевидно, $S \subset T$ ( подмножество ).

По аксиоме 8 (симметрия), решение должно лежать на прямой .
По аксиоме 6 (Парето-оптимальность), решение должно лежать на верхней границе квадрата, то есть на прямой (иначе можно сдвинуться вверх и вправо, улучшив обоих). Единственная точка, лежащая одновременно на и на — это точка (1,1).

Теорема доказана. Точка максимума произведения $u_1 \cdot u_2$ является решением.

Рисунок 1 — это иллюстрация шага 2 доказательства. В таблице показаны элементы, соотносимые с доказательством:

Элемент рисунка	Что означает
Оси и	Полезности (точнее, их приросты в результате сделки) первого и второго игрока
Точка (1,1)	Точка максимума произведения (после нормировки)
Гипербола $u_1 \cdot u_2 = 1$	Линия уровня: все точки с произведением полезностей, равным 1
Прямая	Касательная к гиперболе в точке (1,1)
Точка P	Гипотетическая точка, где (предположение для противоречия)
Точка Q	Точка , где $u_1 \cdot u_2 > 1$ (противоречие)

Почему именно произведение $u_1 \cdot u_2$ ? Это можно интерпретировать экономически так:

Максимум суммы дал бы решение, в котором один игрок забирает всё, а второй не получает ничего (если это эффективнее по сумме). Это несправедливо.

Решение, в котором оба получают поровну, даже если один мог бы получить значительно больше без ущерба другому, будет неэффективно.

Если очень мал, произведение мало, даже если огромно, произведение «наказывает» сильное неравенство.

Произведение равно нулю, если хотя бы один игрок не получает ничего, решение всегда даёт положительный выигрыш обоим.

Точка (0,0) — это исход при срыве переговоров. Произведение $u_1 \cdot u_2$ можно рассматривать как меру того, насколько далеко решение от точки срыва. Максимизация произведения означает, что стороны выбирают соглашение, которое максимально удаляет обоих от точки несогласия, с учётом того, что «обидеть» одного из участников (снизить его ) очень «дорого», поскольку произведение резко падает.

Примеры

Предположим, что два разумных индивида, Билл и Джек, находятся в положении, когда они могут обмениваться товарами, но не имеют денег для упрощения обмена. Кроме того, для простоты предположим, что полезность для любого индивида части общего количества товаров равна сумме полезностей для него отдельных товаров в этой части. Ниже приведена таблица товаров, которыми обладает каждый индивид, с указанием полезности каждого товара для каждого индивида. Используемые функции полезности для двух индивидов следует, разумеется, рассматривать как произвольные.

	Полезность для Билла	Полезность для Джека
Товары Билла
книга	2	4
кнут	2	2
мяч	2	1
бита	2	2
коробка	4	1
Товары Джека
ручка	10	1
игрушка	4	1
нож	6	2
шляпа	2	2

В качестве иллюстрации приведён график для данной ситуации торга (рис. 2).

Рис. 2 — Точка решения лежит на равносторонней гиперболе, расположенной в первом квадранте и касающейся множества альтернатив лишь в одной точке. Рис. 3 — Внутренняя область отображает возможные сделки без использования денег. Область между параллельными прямыми отображает возможности, допускающие использование денег. Полезность и выгода, измеренные в деньгах, здесь приравниваются для малых денежных сумм. Решение должно строиться на основе сделки бартерного типа, при которой u1+u2 достигает максимума, а также включать дополнительный денежный обмен. — Рис. 2 — Точка решения лежит на равносторонней гиперболе, расположенной в первом квадранте и касающейся множества альтернатив лишь в одной точке. Рис. 3 — Внутренняя область отображает возможные сделки без использования денег. Область между параллельными прямыми отображает возможности, допускающие использование денег. Полезность и выгода, измеренные в деньгах, здесь приравниваются для малых денежных сумм. Решение должно строиться на основе сделки бартерного типа, при которой u₁+u₂ достигает максимума, а также включать дополнительный денежный обмен.

Оказывается, что это выпуклый многоугольник, в котором точка максимума произведения приростов полезности находится в вершине, в которой существует лишь одно соответствующее ожидание. А именно:

Билл передаёт Джеку: книгу, кнут, мяч и биту.

Джек передаёт Биллу: ручку, игрушку и нож.

Когда участники торга располагают общим средством обмена, задача может принять особенно простую форму. Во многих случаях денежный эквивалент товара может служить удовлетворительной приближённой функцией полезности. (Под денежным эквивалентом понимается сумма денег, которая для индивида, о котором идёт речь, столь же желанна, как и данный товар.) Это происходит, когда полезность суммы денег приближённо является линейной функцией от этой суммы в диапазоне сумм, относящихся к данной ситуации. Когда мы можем использовать общее средство обмена в качестве функции полезности для каждого индивида, множество точек на графике таково, что та его часть, которая находится в первом квадранте, образует равнобедренный прямоугольный треугольник. Следовательно, решение состоит в том, что каждый участник торга получает одинаковую денежную прибыль (см. рис. 3).

Принстонский университет

Комментарий @avshkol: Еще раз подробнее о примере и как получается решение

Итак, есть два участника сделки и два набора вещей:

Билл владеет: книга, кнут, мяч, бита, коробка.
Джек владеет: ручка, игрушка, нож, шляпа.

Предположим, денег нет — есть только бартер.

Каждому предмету приписаны два числа: сколько полезности он даёт Биллу и сколько Джеку. Например:

ручка Джека: 10 для Билла и только 1 для Джека;
шляпа Джека: 2 для Билла и 2 для Джека;
книга Билла: 2 для Билла, но 4 для Джека.

При этом полезность набора товаров = сумма полезностей отдельных товаров. Т. е. варианты типа «мяч без биты бесполезен» исключаются. Это позволяет просто складывать числа.

Сами функции полезности произвольны. Нэш не утверждает, что измерил приросты счастья Билла и Джека. Он говорит, что построение работает для любых согласованных числовых шкал.

Важно, что отсчёт идёт от ситуации «нет сделки». Сначала вычисляется полезность исходного положения, когда каждый сидит со своим набором и обмена нет.

Полезность для Билла = 12, полезность для Джека = 6.

Эта точка будет нулевой. Далее на осях графика откладывается не абсолютная полезность, а прирост полезности:

$u_1 = U_1(\text{новый набор Билла}) -12, \qquad u_2 = U_2(\text{новый набор Джека}) - 6$

Поэтому на осях Рис. 2 написано BILL'S UTILITY GAIN и JACK'S UTILITY GAIN, т.е «выигрыш в полезности», а не «полезность».

Далее нужно сделать перебор всех возможных сделок.

Вещи неделимы: нельзя отдать половину книги, к примеру. Значит, каждый предмет либо остаётся у владельца, либо переходит его партнёру по сделке. Число возможных распределений конечно, из них интересны те, что дают взаимный выигрыш. Каждое распределение — это одна точка на плоскости, например: «Билл отдаёт книгу и мяч, Джек отдаёт ручку» .

Одно распределение — «никто ничего не отдаёт», даёт точку (0,0).

По аксиоме 6 (Парето-оптимальность) решение не может лежать внутри многоугольника: если можно сдвинуться вправо-вверх, улучшив результат обоих игроков, они, будучи рациональными, это сделают. Значит, решение лежит на верхней правой границе многоугольника. Это ломаная из нескольких рёбер, соединяющая несколько вершин.

Далее на график с многоугольником накладывается семейство гипербол $u_1 \cdot u_2 = \text{const}$ .

Пока константа мала — гипербола проходит ниже/левее многоугольника.
При некотором критическом значении она касается множества ровно в одной точке.

Эта единственная точка касания и есть решение.

Теперь смотрим, какому распределению вещей соответствует эта вершина. Нэш прямо даёт ответ:

Билл отдаёт Джеку: книгу, кнут, мяч и биту.
Джек отдаёт Биллу: ручку, игрушку и нож.

Обратим внимание на оставшиеся у владельцев предметы:

Коробка осталась у Билла: она ему нужна больше, чем Джеку.
Шляпа осталась у Джека: её передача не даёт выигрыша ни одной стороне.

То есть «лишние» для обмена вещи не перераспределяются, обмен затрагивает только те предметы, где есть существенный разрыв в оценках.

Если появляются деньги, то решение с деньгами проходит в два этапа, как указаноы в подписи к Рис. 3:

Сначала выбрать бартерную часть, максимизирующую сумму ;
Затем денежной доплатой распределить итоговый выигрыш поровну.

В чисто бартерном примере (Рис. 2) такого второго денежного механизма нет: неделимые предметы нельзя нарезать, поэтому приходится выбирать одну вершину, и равных выигрышей может не получиться.

Заключительный комментарий @avshkol о статье и модели Нэша для торга двух лиц

Нужно понимать, что Нэш не решает систему уравнений спроса и предложения. Он перебирает дискретные сделки, строит выпуклую оболочку, проводит Парето-отсечение и ищет касание гиперболы.

Полезности на осях, т.е. полезности для двух сторон — это приросты относительно срыва переговоров (когда каждый остаётся при своих), а не абсолютные полезности.

Решение — это вершина, где оптимум реализуется одной конкретной сделкой.

Максимум произведения ≠ равный дележ. Равенство выигрышей появляется только при случае с возможностью использовать деньги, см. Рис. 3.

Но ещё раз хотел бы обратить внимание на то, что некоторые школы (см. комментарий про марксистский подход и австрийскую школу) отвергли бы такую модель из-за её допущений об абсолютной рациональности, равенства сил переговорщиков и абсолютного знания о предпочтениях.